Fuerza Electromotriz (Interes)

Propiedades de las proposiciones

Sean p, q y r proposiciones, entonces las proposiciones siguientes son tautologías:

a) Propiedad de idempotencia de los conectivos ~, \/, /\.

      i) ~ (~ p) ⇔ p
     ii) (p /\ p) ⇔ p
    iii) (p \/ p) ⇔ p

b) Propiedad conmutativa de los conectivos \/, /\.

      i) (p \/ q) ⇔ (q \/ p)
     ii)  (p \/ q) ⇔ (q /\ p)

c) Propiedad asociativa de los conectivos \/, /\.

      i) [(p \/ q) \/ r] ⇔ [p \/ (q \/ r)]
     ii) [(p /\ q) /\ r] ⇔ [p /\ (q /\ r)]

d) Propiedad distributiva de los conectivos \/, /\.

      i) [(p /\ q) \/ r] ⇔ [(p /\ q) \/ (p /\ r)]
     ii) [(p \/ q) /\ r] ⇔ [(p \/ q) /\ (p \/ r)]

e) Leyes de Morgan para los conectivos \/, /\.

      i) ~ (p \/ q) ⇔ (~ p) /\ (~ q)
     ii) ~ (p /\ q) ⇔ [(~ p) \/ (~ q)]

f) Leyes de absorción

      i)  p \/ (p /\ q) ⇔ p
     ii) (p /\ q) ⇔ q
    iii) (p /\ p) ⇔ p

Número de Combinaciones (Proposiciones)

Partiendo de un número n de variables, cada una de las cuales puede tomar el valor verdadero: V, o falso: F, por combinatoria podemos saber que el número total de combinaciones: N, que se pueden presentar es:

el número de combinaciones que se pueden dar con n variable, cada una de las cuales puede tomar uno entre dos valores lógicos es de dos elevado a la n, esto es, el número de combinaciones:

Ejemplos:

Sean p, q y r proposiciones, entonces las combinatoria de las mismas estarían definidas de la siguiente manera: 

p

V

F

2¹ = 2 combinatorias

p	q
V	V
V	F
F	V
F	F

2² = 4 combinatorias

p	q	r
V	V	V
V	V	F
V	F	V
V	F	F
F	V	V
F	V	F
F	F	V
F	F	F

             

2³ = 8 combinatorias

p	q	r	s
V	V	V	V
V	V	V	F
V	V	F	V
V	V	F	F
V	F	V	V
V	F	V	F
V	F	F	V
V	F	F	F
F	V	V	V
F	V	V	F
F	V	F	V
F	V	F	F
F	F	V	V
F	F	V	F
F	F	F	V
F	F	F	F

2⁴ = 16 combinatorias

Conectivos Lógicos (Parte 2)

La Conjunción

La conjunción es un conectivo lógico que nos relaciona dos proposiciones simples para formar una proposición compuesta, llamada la conjunción de las dos proposiciones; la conexión de las dos proposiciones se realiza con el nexo "y" cuyo símbolo es  /\. Así, si p y q son proposiciones, la conjunción expresada a partir de los valores de verdad es la siguiente:

p	q	p /\ q
V	V	V
V	F	F
F	V	F
F	F	F

La Disyunción

La disyunción es un conectivo lógico que nos relaciona dos proposiciones simples para formar una proposición compuesta. La conexión entre dos proposiciones se realiza con el nexo "o" cuyo símbolo es \/, así p \/ q se lee "p o q". Así, si p y q son proposiciones, la disyunción expresada a partir de los valores de verdad es la siguiente:

p	q	p \/ q
V	V	V
V	F	V
F	V	V
F	F	F

El Condicional

Si p y q son proposiciones, el conectivo lógico condicional o implicación nos da una nueva proposición p → q que se lee "p implica q" o "si p entonces q". La proposición  p → q es por definición la proposición (~ p) \/ q. A partir de las tablas de verdad tenemos lo siguiente:

p	q	~ p	(~ p) \/ q
V	V	F	V
V	F	F	F
F	V	V	V
F	F	V	V

De otra manera podemos resumirla de la siguiente manera: 

p	q	p ⇒ q
V	V	V
V	F	F
F	V	V
F	F	V

El Bicondicional

Sean p y q dos proposiciones, si relacionamos estas proposiciones con el conectivo lógico bicondicional obtenemos la proposición p ⇔ q se lee "p si y solo si q". Esta proposición p ⇔ q es la proposición (p → q) /\ (q → p) o en otras palabras p condiciona q y q condiciona p.

El lector puede comprobar que la tabla de valores de verdad de p ⇔ q es la siguiente:

p	q	p ⇔ q
V	V	V
V	F	F
F	V	F
F	F	V

Conectivos Lógicos

Para indicar si una proposición es verdadera o falsa utilizaremos los símbolos V o F respectivamente. El valor de verdad de una proposición "p" lo notaremos v(p); así, si p es la proposición "Las estrellas son infinitas", se tiene que dicha proposición es verdadera y escribiremos v(p)=V.

Los conectivos lógicos fundamentales son: la negación, la conjunción, la disyunción, la implicación y la equivalencia.

La Negación

Se puede obtener otra proposición a partir de una dada, negándola; es decir, anteponiendo la palabra "no" o "no es cierto que". El símbolo que usaremos para representar la negación "no" es ~ .

Ejemplos: 

1. Si p es la proposición " Estoy estudiando" la negación ~ p de esta proposición será "No estoy estudiando" o también "No es cierto que estoy estudiando".

2. Si q es la proposición "Pedro está triste" la negación ~ q es la proposición "Pedro no está triste" o también "No es cierto que Pedro está triste". 

Notar que la negación es un conectivo lógico que no nos relaciona dos proposiciones simples para darnos una proposición compuesta, sino que, a partir de una proposición simple nos da una nueva proposición simple.

Es claro que los valores de verdad que puede tomar la proposición ~ p a partir de la proposición p siguen las siguientes reglas:

i)    Si v(p)=V entonces v(~ p)= F; y

ii)   Si v(p)=F entonces  v(~ p)=V

En vez de anotar las reglas i) y ii) se construye la tabla de valores de verdad siguiente:  

| p  |~ p|

| V |  F |

| F  | V |

Proposiciones

Por una proposición nosotros entendemos una frase en la que se declara algo y a la que podemos asignar un valor de verdadero o falso; pero no ambos al mismo tiempo.

EJEMPLOS:

1. Hoy es un día soleado.

2. Por dos puntos pasa una recta y una sola recta.

Pero también existe el caso de expresiones como las siguientes, las cuales no son consideradas como proposiciones:

3. ¡Adiós!

4. ¿Hoy trabajaremos?

Las proposiciones las notaremos con las letras p, q, r, etc.

Introducción al Cálculo Proposicional

El cáculo proposicional es la rama de las matemáticas que nos permite discernir sobre la validez o no de los razonamientos y de demostraciones que se efectúan. Los conceptos de proposiciones y conectivas lógicas constituyen el pilar en donde se sustenta el cálculo proposicional.